Química

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Cuestionario:
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1.- ¿Que es configuración electrónica y en qué se basa?
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En química, la configuración electrónica es el modo en el cual los electrones están ordenados en un átomo.
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Se basa en que los electrones son fermiones están sujetos al principio de exclusión de Pauli, que dice que dos fermiones no pueden estar en el mismo estado cuántico a la vez. Por lo tanto, en el momento en que un estado es ocupado por un electrón, el siguiente electrón debe ocupar un estado mecanocuántico diferente.

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*Wikipedia, La enciclopedia libre, Configuración electrónica
http://es.wikipedia.org/wiki/Configuración_electrónica

*Enciclopédie.snike.com, Configuración electrónica http://encyclopedie-es.snyke.com/articles/configuracion_electronica.html

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2.- Define orbitales

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En un átomo, los estados estacionarios de la función de onda de un electrón ( funciones propias del Hamiltoniano (H) en la ecuación de Schrödinger HΨ = EΨ ;Ψ la función de onda ) se denominan orbitales atómicos. Sin embargo, los orbitales no representan la posición concreta de un electrón en el espacio, que no puede concocerse dada su naturaleza ondulatoria, sino que delimitan una región del espacio en la que la probabilidad de encontrar al electrón es elevada.

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*Wikipedia, La enciclopedia libre, Orbital

http://es.wikipedia.org/wiki/Orbital

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3.- ¿En qué consiste el llenado de orbitales?

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Aunque en un átomo existen infinitos orbitales (el valor de n no está limitado), no se llenan todos con electrones, estos sólo ocupan los orbitales (dos electrones por orbital, a lo sumo) con menor energía, energía que puede conocerse, aproximadamente, por la regla de Auf-Bau, regla nemotécnica que permite determinar el orden de llenado de los orbitales de la mayoría de los átomos. Según esta regla, siguiendo las diagonales de la tabla de la dercha, de arriba abajo, se obtiene el orden de energía de los orbitales y su orden, consecuentemente, su orden de llenado.

s p d f 1 s 2 s p 3 s p d 4 s p d f 5 s p d f 6 s p d 7 s p

Como en cada capa hay 1 orbital s, en la primera columna se podrán colocar 2 electrones. Al existir 3 orbitales p, en la segunda columna pueden colocarse hasta 6 electrones (dos por orbital). Como hay 5 orbitales d, en la tercera columna se colocan un máximo de 10 electrones y en la última columna, al haber 7 orbitales f, caben 14 electrones. Esto es más fácil de entender con un ejemplo.

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*Personal 5, Configuración

http://personal5.iddeo.es/pefeco/Tabla/configuracion.htm

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4. ¿Qué es un número cuántico y cuáles son sus valores?

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Los números cuánticos son aquellos números que describen las propiedades de los orbitales. Estos son:

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n.
El número cuántico principal determina el tamaño de las órbitas, por tanto, la distancia al núcleo de un electrón vendrá determinada por este número cuántico. Todas las órbitas con el mismo número cuántico principal forman una capa. Su valor puede ser cualquier número natural mayor que 0 (1, 2, 3...) y dependiendo de su valor, cada capa recibe como designación una letra. Si el número cuántico principal es 1, la capa se denomina K, si 2 L, si 3 M, si 4 N, si 5 P, etc.

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l.
El número cuántico azimutal determina la excentricidad de la órbita, cuanto mayor sea, más excéntrica será, es decir, más aplanada será la elipse que recorre el electrón. Su valor depende del número cuántico principal n, pudiendo variar desde 0 hasta una unidad menos que éste(desde 0 hasta n-1). Así, en la capa K, como n vale 1, l sólo puede tomar el valor 0, correspondiente a una órbita circular. En la capa M, en la que n toma el valor de 3, l tomará los valores de 0, 1 y 2, el primero correspondiente a una órbita circular y los segundos a órbitas cada vez más excéntricas.

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m.
El número cuántico magnético determina la orientación espacial de las órbitas, de las elipses. Su valor dependerá del número de elipses existente y varía desde -l hasta l, pasando por el valor 0. Así, si el valor de l es 2, las órbitas podrán tener 5 orientaciones en el espacio, con los valores de m -2, -1, 0, 1 y 2. Si el número cuántico azimutal es 1, existen tres orientaciones posible (-1, 0 y 1), mientras que si es 0, sólo hay una posible orientación espacial, correspondiente al valor de m 0.

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s.
Cada electrón, en un orbital, gira sobre si mismo. Este giro puede ser en el mismo sentido que el de su movimiento orbital o en sentido contrario. Este hecho se determina mediante un nuevo número cuántico, el número cuántico se spin s, que puede tomar dos valores, 1/2 y -1/2.

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Estos son los valores que pueden tomar los números cuánticos:

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Número cuántico	Valores posibles
n	1, 2, 3,...
l	0,..., (n-1)
ml	-l,..., 0,...,+l
ms	-1/2, +1/2

..

*Enciclopédie.snike.com, Configuración electrónica

http://encyclopedie-es.snyke.com/articles/configuracion_electronica.html

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*www.puc.c, FOTON - ONDA

http://www.puc.cl/sw_educ/qda1106/CAP2/2C/2C1/

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*Personal5

http://personal5.iddeo.es/pefeco/Tabla/configuracion.htm

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5. ¿Cuáles son las reglas de configuración electrónica?

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REGLA DE HUND

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En un mismo subnivel, los electrones no se aparean hasta que no haya un electrón en cada orbital.

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REGLA DE LAS DIAGONALES

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Ofrece un medio sencillo para realizar dicho cálculo. Recordemos que el número máximo de electrones en los subniveles es:

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s : 2 electrones
p : 6 electrones
d : 10 electrones

f : 14 electrones

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REGLA DE KERNEL

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Los gases nobles tienen todos sus orbitales llenos de electrones. A esta configuración electrónica perfecta, se le llama Kernel, cuando a su vez, se encuentra contenida en la estructura de otro átomo.

Para efectuarla, se toma en cuenta el gas noble que le antecede en la tabla, se escribe entre paréntesis su símbolo que representa su configuración electrónica y luego se distribuyen los electrones restantes. Ejemplo: realizar la configuración electrónica con Kernel del fierro.

El número atómico del fierro es 26, por lo que el valor de "n" es 4. El gas noble que le antecede es el Argón, a quien le corresponderán 18 electrones. Los ocho restantes se distribuyen de acuerdo al cuadro de Aufbau, quedando por lo tanto así: (Ar) 4s2, 3d6. Para que le entiendas, compara y analiza la regla ya comentada. Recuerda que esta tabla se encuentra en el tema anterior.

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Regla de octeto

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Para que un átomo sea estable debe tener todos sus orbitales llenos (cada orbital con dos electrones, uno de spin +1/2 y otro de spin -1/2) Por ejemplo, el oxígeno, que tiene configuración electrónica 1s², 2s², 2p4, debe llegar a la configuración 1s², 2s², 2p6 con la cual los niveles 1 y 2 estarían llenos. Entonces el oxígeno tendrá la tendencia a ganar los 2 electrones que le faltan, por esto se combina con 2 hidrógenos (en el caso del agua, para poner un ejemplo), que cada uno necesita 1 electrón (el cual recibe del oxígeno) y otorga a dicho átomo 1 electrón cada uno. De este modo, cada hidrógeno completó el nivel 1 y el oxígeno completó el nivel 2.

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*Wikipedia, Configuración electronica, consultada el 24/10/05, http://es.wikipedia.org/wiki/Configuración_electrónica#Regla_de_octeto

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*ORTIZ, Configuración electronica, consultada el 24/10/05, http://orbita.starmedia.com/~natrum/config.html

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*Ánonimo, Configuración electronica, consultada el 24/10/05 http://fai.unne.edu.ar/atomo/config_electr.htm

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*Ánonimo, Regla de las Diagonales, consultada el 24/10/05, http://fai.unne.edu.ar/atomo/regla.htm

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6. Ejemplos de ejercicios de configuración electrónica.

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Por ejemplo, el oxígeno, que tiene configuración electrónica 1s², 2s², 2p4, debe llegar a la configuración 1s², 2s², 2p6 con la cual los niveles 1 y 2 estarían llenos. Entonces el oxígeno tendrá la tendencia a ganar los 2 electrones que le faltan, por esto se combina con 2 hidrógenos (en el caso del agua, para poner un ejemplo), que cada uno necesita 1 electrón (el cual recibe del oxígeno) y otorga a dicho átomo 1 electrón cada uno. De este modo, cada hidrógeno completó el nivel 1 y el oxígeno completó el nivel 2.

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*Wikipedia, Configuración electronica, consultada el 24/10/05, http://es.wikipedia.org/wiki/Configuración_electrónica

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7. ¿Qué es un enlace químico y cómo se da?

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Se define como la fuerza de unión que existe entre dos átomos, cualquiera que sea su naturaleza, debido a la transferencia total o parcial de electrones para adquirir ambos la configuración electrónica estable correspondiente a los gases inerte; es decir, el enlace es el proceso por el cual se unen átomos iguales o diferentes para adquirir la configuración electrónica estable de los gases inertes y formar moléculas estables.

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*Laya Crispina, Monografías.com, Química

http://www.monografias.com/trabajos12/quimi/quimi.shtml

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8. ¿Cuáles son las clases de enlaces químicos? Haz ejemplos relacionados con los compuestos fosfatados y en los hidrocarburos. .

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Las clases de enlaces químicos son:

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Enlaces iónicos:

Este enlace se produce entre un metal y un no metal, y se caracteriza por la transferencia de electrones, donde el metal tiende a ceder electrones y el no metal tiende a recibirlos hasta completar 8 electrones en la última capa, por la regla del octeto.

Enlace Covalente

• Este enlace se produce entre dos no metales y la característica principal es la compartición de pares electrónicos.
• La diferencia de electronegatividades debe ser menor o igual que 1.7 y el carácter iónico porcentual debe ser menor o igual que el 50%.
• Si los no metales que se unen son diferentes, entonces el enlace covalente será polar.
• La diferencia de electronegatividades debe ser diferentes de cero.

Enlace Metálico

Es propio de los metales y de sus aleaciones, y se caracteriza por la presencia de un enrejado cristalino que tiene nodos cargados positivamente y una nube electrónica permite la conducción de la corriente eléctrica y del calor.

Enlace Múltiple

Es propio de compuestos que tienen enlace simple, doble y triple.

*ENFénix!Portal Educativo, Profesor Web, Contenidos y Preguntas en diversas materiasEnlaces Químicos http://enfenix.webcindario.com/profeweb/cieytec/enlaquim.phtml

9.- ¿En que consiste el principio de exclusión de Pauli?

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El principio de exclusión de Pauli es un principio cuántico enunciado por Wolfgang Ernst Pauli en 1925 que establece que no puede haber dos fermiones con todos sus números cuánticos idénticos (esto es, en el mismo estado cuántico). . El principio de exclusión de Pauli sólo se aplica a fermiones, esto es, partículas que forman estados cuánticos antisimétricos y que tienen espín semientero. Son fermiones, por ejemplo, los protones, los neutrones, y los electrones, los tres tipos de partículas subatómicas que constituyen la materia ordinaria.

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*Enciclopédie.snike.com, Principio de exclusión de Pauling

http://encyclopedie-es.snyke.com/articles/principio_de_exclusion_de_pauli.html

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10. ¿Qué es una fuerza intermolecular?

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Las fuerzas intermoleculares son fuerzas electromagnéticas las cuales actúan entre moléculas o entre regiones ampliamente distantes de una macromolécula. En orden decreciente de fuerza, las fuerzas intermoleculares son:

- Intereacciones iónicas
- Puente de hidrógeno
- Interacciones dipolo-dipolo
- Fuerza de London

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http://es.wikipedia.org/wiki/Fuerza_intermolecular

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11. ¿Qué son los Fosfatos de Bayóvar?

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Los Fosfatos de bayovar son compuestos de origen sedimentario marino, orgánico y químico, acumulados en lo que fueron lechos marinos hace millones de años.

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12. Describe los Fosfatos de Bayóvar.

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Se trata del fosfato natural mas reactivo y de alto contenido micronutrientes (fosfatos de calcio, azufre y fosfato de magnesio ).

Tiene un alto poder residual, óptimo para suelos ácidos, mejora el PH del suelo. Por su solubilidad es atracrivo como abono natural.

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13. Utilización de los fosfatos de Bayóvar y del petróleo

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Los usos de los fosfatos de Bayovar son muchos, algunos de estos son:

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Cerca de tres partes se emplean como fertilizantes. Tambén se utilizan en detergentes, alimentos para animales, ablandadores de agua, aditivos para alimentos y farmacos, en el tratamiento de superficies metalicas, aditivos en metalurgía, plastificantes, insecticidas y aditivos de productos petroleros.

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14.- ¿Que importancia tienen los fosfatos de Bayovar y el petróleo para el desarrollo de la región y del país?

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Los fosfatos son sustancias importantes en el cuerpo de los humanos por que ellas son parte del ADN y son fuentes de energía. Todo esto los podemos encontar en plantas y en los alimentos que consumimos diariamente como son:

• Pescado seco
• Panes
• Cereales
• Papas deshidratadas, ect

15. ¿Qué es canon minero?

El Canon Minero es la participación de la que gozan los Gobiernos Locales (municipalidades provinciales y distritales) y los Gobiernos Regionales del total de ingresos y rentas obtenidos por el Estado por la explotación económica de los recursos mineros (metálicos y no metálicos).

*Transparencia ecónomica http://transparencia-economica.mef.gob.pe/transferencia/canon.asp

16. ¿Sechura cuánto debe recibir de canon minero?

Lo que debe recibir Sechura por el canon minero es lo siguiente:

1	Total	%	Ene	Feb	Mar	Abr	May	Jun	Jul	Ago	Set	Oct	Nov	Dic
Canon minero	887	0	0	0	0	0	13	0	874	0	0	0	0

*Gobierno peruano, Canon minero http://www.congreso.gob.pe/congresista/2001/jperalta/np/040401_np.htm

Matematica

Investigación de matemática

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1. ¿Qué es exponentes, raíces y radicales?

• Potencia de base real y exponente entero

Toda potencia de exponente negativo es igual a la unidad dividida por la misma potencia con exponente positivo.

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Sea a un número real a * * y n un número natural distinto del cero n * * - { 0 } se define potencia de base a y exponente n a:

a n = a · a · · · · · a

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Potencia de exponente cero

Si a es un número real distinto de cero, se define:

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a⁰ = 1

Entonces podemos decir que todo número real diferente a 0, elevado a cero va hacer igual a 1.

• Ecuaciones exponenciales

Se llaman ecuaciones exponenciales a las ecuaciones en las que en algún miembro aparece una expresión exponencial (potencia de base constante (número) y exponente variable (x, y, etc).

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Se resuelven aplicando las propiedades de las potencias y teniendo en cuenta:

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Es necesario comprobar la validez de la solución obtenida.

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Por ejemplo:

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_{a) 3}2-x² _{= 3}

b) 4^2x+1 = (0,5)^3x+5

^.

• Raíces de números reales.

En general, se define la raíz cuadrada de un número a como otro número b tal que b² = a.

Igualmente, se define raíz n-sima de un número a al número b tal que bⁿ = a

Y escribimos:

El número a se llama radicando y el número n, índice.

Por ejemplo,

• Radicación algebraica:

La radicación es la operación inversa de la potenciación.

Llamamos raiz n-ésima de un número dado a al número b que elevado a n nos da a.

1.- Clasificación de radicales

2.- Propiedades

Los radicales tienen una serie de propiedades, que debemos conocer y utilizar con soltura. Todas ellas son consecuencia inmediata de conocidas propiedades de las potencias. Veámoslas una a una, estudiando su significado en algunos ejemplos, y viendo sus aplicaciones.

Primera:

Ejemplos:

Esta propiedad tiene dos importantes aplicaciones:

simplificar radicales tal y como se ha visto en los ejemplos anteriores;

conseguir que dos o más radicales tengan el mismo índice (reducir a índice

común).

Segunda:

Ejemplos:

Esta propiedad tiene dos aplicaciones importantes:

sacar un factor fuera de la raíz;

de modo contrario, juntar varios radicales en uno solo.

Tercera:

Ejemplos:

Esta propiedad, junto con la primera y segunda, sirve para poner productos y cocientes de radicales bajo una sola raíz.

Cuarta:

Ejemplos:

Quinta:

Ejemplos:

Propiedades mejor explicadas

1. Raíz de una raíz:

Por ejemplo,

2. Raíz de una potencia:

Por ejemplo,

3. Simplificación:

Por ejemplo,

4. Raíz de un producto:

Por ejemplo,

Esta propiedad es útil para sacar un factor de una raíz:

5. Raíz de un cociente:

Por ejemplo,

6. Suma de radicales:

Por ejemplo,

Sin embargo, otro tipo de sumas con radicales no se puede simplificar. Es el caso, por ejemplo, de

que hay que dejarla indicada o calcular sus aproximaciones decimales y sumar sus resultados.

Lo mismo sucede con la expresión

Sin embargo, la expresión

sí se puede simplificar porque, operando con los radicales, se obtienen radicales semejantes:

Por tanto,

3.- Raíz de un producto, un cociente y de una potencia

Producto

La raíz de un producto es el producto de las raíces.

→

Cociente

La raíz de un cociente es el cociente de las raíces.

→

Potencia

4.- Exponente fraccionario

Las potencias de exponente fraccionario verifican las mismas propiedades que las potencias de exponente entero.

Una potencia de exponente fraccionario es equivalente a un radical.

Fijándonos en el primer ejemplo anterior es razonable definir:

porque, recordando la regla de calcular la potencia de otra potencia:

(8^1/3)³ = 8^{1/3 * 3} = 8¹ = 8

En general, se define

ya que

(a^1/n)ⁿ = a^{1/n * n} = a¹ = a

De forma similar se define:

5.- Reducción de radicales

Teniendo en cuenta que es fácil reducir varios radicales a otros que tengan el mismo índice pues hasta multiplicar cada índice y el exponente de la cantidad subrradical por el número apropiado.

La reducción de radicales de un índice común es utilizar en la multiplicación y en la división de expresiones con radicales; también se aplica esta operación cuando se trata de comparar numéricamente varios radicales sin hacer las correspondientes extracciones de raíces. Reducir los radicales siguientes a otros equivalentes del mismo índice.

m. c. i.= 12

Para conseguir que varios radicales se transformen en otros con el índice común, se halla el mínimo común múltiplo, m, de los índices y se transforma cada uno de ellos en otro con índice m.

Por ejemplo, para

el m.c.m.(4, 6, 3) = 12. Por tanto:

Los radicales tienen el mismo índice y son respectivamente iguales a los tres iniciales.

6.- Simplificación de radicales

Cuando la cantidad subradical contiene factores cuyo exponente es divisible por el índice.

Para simplificar radicales se procede de la siguiente manera:

1. Se factoriza el subradical: de los radicales solo se pueden sacar factores.
2. La parte numérica se descompone en factores de tal forma que los más sean
potencias con exponentes múltiplos del índice de la raíz: para luego poder sacar del radical dichas potencias al dividir el exponente por el índice
3. La parte literal se descompone de tal manera que se exprese la mayor parte posible con exponentes múltiplos del índice de la raíz

Ejm.

Simplificar:

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Cuando la cantidad subradical es una fracción

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1. Se factoriza el subradical: de los radicales solo se pueden sacar factores.
2. La parte numérica se descompone en factores de tal forma que los más sean
potencias con exponentes múltiplos del índice de la raíz: para luego poder sacar del radical dichas potencias al dividir el exponente por el índice
3. La parte literal se descompone de tal manera que se exprese la mayor parte posible con exponentes múltiplos del índice de la raíz
4. Se multiplica tanto el numerador como el denominador por la cantidad necesaria que haga que el denominador tenga raíz exacta

.

Si m p l i f i c a r :

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Cuando los exponentes de los factores de la cantidad subradical y el índice tienen un divisor común

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1. Se expresan los coeficientes numéricos en potencias de sus factores primos.
2. Se expresa la raíz como un producto de potencias (escribiendo las potencias con exponentes fraccionarios cuyo numerador es el exponente de la cantidad subradical y cuyo denominador es el índice de la raíz)
3. Se simplifican los exponentes
4. Se transforma la potencia en su equivalente radical

.

Si m p l i f i c a r :

*Baldor, Lycos sistem, Precálculo21, Simplificación de radicales

http://usuarios.lycos.es/calculo21/id22.htm

• Operaciones con radicales:

Adición y Sustracción

La suma o la resta de radicales semejantes es otro radical semejante a los dados, cuyo coeficiente es igual a la suma o la resta de los coeficientes de los radicales sumados o restados.

Ejemplo:

Si los radicales no son semejantes, la suma se deja indicada.

Ejemplo:

Multiplicación

El producto de radicales, con el mismo índice, es igual a otro radical cuyo coeficiente y radicando son iguales, respectivamente, a los productos de los coeficientes y radicandos de los factores.

Ejemplo:

División

El cociente de dos radicales con el mismo índice, es igual a otro radical, cuyo coeficiente y radicando son iguales, respectivamente, al cociente de los coeficientes y radicandos de los radicales dividendo y divisor.

Ejemplo:

Potenciación y Radicación

La potencia de un radical es igual a otro radical, cuyo coeficiente y radicando están elevados a dicha potencia.

Ejemplo:

Es importante observar que al elevar al cuadrado un radical de índice 2, se obtiene el radicando.

Ejemplo:

• Racionalización de radicales en el denominador
• Radicales simples y compuestos.

*Geocites, Potencias, consultada el 19/10/05,
http://www.comenius.usach.cl/webmat2/conceptos/desarrolloconcepto/potencias_desarrollo.htm
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*Geocities, Exponentes
http://espanol.geocities.com/jefranco_2000mx/EXPONENTES.htm

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*Miguel Angel Cabezón Ochoa, Descartes 3D, Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2004, Potencias
http://descartes.cnice.mecd.es/3_eso/Potencias_mac/potencias1.htm
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*Wanadoo, El rincón del vago, Números reales
http://html.rincondelvago.com/numeros-reales.html
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*Descartes 3D, Radicales
http://descartes.cnice.mecd.es/3_eso/Radicales/indice.htm
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*Leoncio Santos Cuervo, Descartes, Ecuaciones exponenciales
http://www.cnice.mecd.es/Descartes/Bach_HCS_1/Ecuaciones_exponenciales_y_logaritmicas/Ecu_exp.htm
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*Tema 3. ecuaciones logarítmicas y exponenciales
http://personales.com/espana/madrid/Apuntes/TEMA%203.htm
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*Wanaoo, El rincón del vago, Radicales y raíces

http://html.rincondelvago.com/radicales-y-raices.html

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*Descartes 3D, Miguel Angel Cabezón Ochoa, Radicales

http://descartes.cnice.mecd.es/3_eso/Radicales/radicales2.htm

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*Fernando Arias Fernández-Pérez, Descartes 2D, Potencias: exponentes fraccionarios.

http://descartes.cnice.mecd.es/3_eso/Potencias/potencias33.htm

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*Claudia, Monografias.com, Radicales

http://www.monografias.com/trabajos10/radic/radic.shtml

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*Fernando Arias Fernández-Pérez, Descartes, Potencias de exponente y fraccionario. Raices

http://www.cnice.mecd.es/Descartes/3_eso/Potencias/Potencias33.htm

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*Fernando Arias Fernández-Pérez, Descartes 2D, Potencias: exponentes fraccionarios.

http://descartes.cnice.mecd.es/3_eso/Potencias/potencias33.htm

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*Ciencias.bc, Propiedades de los radicales

http://ciencias.bc.inter.edu/smejias/algebra/conferencias/Propiedades%20de%20los%20radicales.htm

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*Wanadoo, El rincón del vago, Teoría de exponentes y radicales
http://html.rincondelvago.com/radicales_2.html

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*MSN Encarta, Enciclopedia Microsoft® Encarta® Online 2005, Radical

http://es.encarta.msn.com/encyclopedia_961546255/Radical_(matem%C3%A1ticas).html

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2. ¿Qué son los números reales?

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• Propiedades del conjunto de los números reales

Propiedades de los números reales (en la adición):

a.-) Propiedad conmutativa: en la adición de números reales, el orden del os sumandos no altera la suma. Es decir, si a y b son los números reales, entonces = a + b = b + a , por lo anterior se dice que la adición de números reales tiene la propiedad conmutativa.

b.-) Propiedad asociativa: en la adición de números reales, la forma de agrupar los sumandos no altera la suma. Es decir, si a, b y c son números reales, entonces a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c), por lo anterior, se dice, que la adición de números reales tiene la propiedad asociativa.

c.-) Existencia de elemento neutro: en el conjunto R de los números reales, el número real cero (0) es el elemento identidad o neutro para la adición porque la suma de cualquier número a y 0 es 0. es decir, si a es un número real, entonces: a + 0 = 0 + a = a.

d.-) Existencia de elementos simétricos opuestos: para cualquier número real existe otro número real –a, llamado opuesto de a, tal que: a + (-a) = 0. Así: la suma de un número real y su opuesto es igual a cero (0), el elemento identidad o neutro para la adición. Por ejemplo: –√2 = –(–√2) = √2.

Las propiedades de los números reales (en la sustracción):

a.-) Si a y b son números reales, entonces su diferencia a- b es un número real. Por satisfacer esta propiedad se dice que el conjunto de números reales es cerrado respecto a la sustracción.

b.-) La sustracción de números Reales no es conmutativa. Observa la localización de 3 – √2 y √2 – 3 en la recta real.

c.-) La sustracción de números reales no es asociativa. Observa:

(3·√2 – √2) – 3·√2 = 2·√2 = 3·√2 – 3·√2 = – √2

3·√2 – (√2 – 3·√2) = 3·√2 – (–2·√2) = 5·√2

como – √2 ¹ 5·√2 , entonces

(3·√2 – √2) – 3·√2 ¹ 3·√2 – (√2 – 3·√2)

d.-) El número real cero (0) es un elemento identidad o neutro por la derecha para la sustracción. Observa que la diferencia de cualquier número a menos 0 es igual al numero a: √2 – 0 = √2; p - 0 = p ; (3·√2 – √2) – 0 = (3·√2 – √2). Pero cero no es elemento identidad o neutro por la izquierda. En efecto, 0 – a ¹ a; 0 – 2 ¹ 2, 0 - √3 ¹ √3.

Propiedades de los números reales (en la sustracción):

a.-) si a y b son números reales, entonces su producto a·b es un número real. Por satisfacer esta propiedad, se dice que el conjunto de números reales es cerrado respecto a la multiplicación.

b.-) Propiedad conmutativa: en la multiplicación de números reales, la forma de agrupar los factores no altera el producto. Es decir, si a y b son dos números reales, entonces: a·b = b·a.

c.-) Propiedad asociativa: en la multiplicación de números reales, la forma de agrupar los factores no altera el producto. Es decir, si a y b son dos números reales, entonces: a·b·c = (a·b)·c = a·(b·c)

d.-) Existencia de elemento identidad o elemento neutro: en el conjunto R de los números reales, el número real uno (1) es el elemento identidad o neutro para la multiplicación porque el producto de cualquier número a por 1 es a. Es decir, si a es un número real, entonces: a·1 = 1·a = a.

e.-) Existencia de elemento simétrico o inverso: para cualquier número real no nulo a, existe otro número real 1/a = a^-1, llamamos inverso de a tal que: a · 1 / a = 1 ó a · a^-1 = 1.

f.-) Propiedad distributiva con respecto a la adición: así, multiplicar un número real por una suma indicada de números por cada uno de los sumandos y luego sumar los productos obtenidos. Es decir, si a, b y c son números reales, entonces:

(a + b)·c = a·c + b·c

a·c + b·c = (a +b)·c

g.-) Factor cero: todo número multiplicado por cero da cero. Es decir, si a es un número real entonces: a·0 = 0; 3·0 = 0; 5·0 = 0, 375·0 = 0, (-4)·0 = 0.

Propiedades de los números reales en la división:

a.-) si a y b son números reales, con b no nulo (b ¹ 0), entonces su cociente a / b ó a ¸ b es un número real. Por satisfacer esta propiedad se dice que el conjunto de números reales es cerrado respecto a la división, con divisor no nulo.

b.-) La división de números reales no es conmutativa. Observe que: 8 ¸ 2 ¹ 2 ¸ 8.

c.-) La división de números reales no es asociativa: observa que:

(16 ¸ 4) ¸ 2 = 4 ¸ 2 = 2

16 ¸ (4 ¸ 2) = 16 ¸ 2 = 8

y como 2 ¹ 8 entonces: (16 ¸ 4) ¸ 2 ¹ 16 ¸ (4 ¸ 2)

d.-) El número real uno (1) es elemento identidad por la derecha para la división. Observa que el cociente de cualquier número real a entre 1 es igual al número a: a ¸ 1 = a

√2 ÷ 1 = √2; 2 + √3 = 2 + √3; (2 - r) ÷ 1 = (2 - r)

1

pero 1 no es elemento identidad por la izquierda:

e.-) El divisor en una división siempre debe se diferente de cero..

• Aproximación y redondeo

Para trabajar con números decimales infinitos o números decimales largos, se les aproximan a otros números mediante el truncamiento o el redondeo (ambas cosas las realizan las calculadoras).

TRUNCAR un número significa suprimir les cifres a partir de una determinada.

REDONDEAR un número es conseguir la mejor aproximación con otro que tenga una cantidad determinada de cifras decimales, y depende de la cifra situada a la derecha de la última no suprimida. H

Si un número lo queremos redondear con n cifras decimales y la cifra decimal n+1 es mayor o igual a 5 entonces la cifra enésima se aumenta una unidad, es decir se redondea por exceso. En caso contrario se deja la que estaba, es decir se redondea por defecto.

Ejemplo:

Número	Nº de cifras decimales de la aproximación	Truncamiento	Redondeo
2,33375689.....	3	2,333	2,334
5,67587654.....	3	5,675	2,676
0,01199453....	4

ERRORES: ABSOLUTO Y RELATIVO

En el truncamiento y redondeo de los números y en las aproximaciones de las medidas de magnitudes se producen errores.

ERROR ABSOLUTO *a es el valor absoluto de la diferencia entre el valor exacto y la aproximación:

*a

ERROR RELATIVO *r es el cociente entre el error absoluto y el valor absoluto del número exacto:

*r =
también se expresa en porcentaje *r =
.

• Operaciones con números reales: adición, sustracción, multiplicación, división

Adición de números reales:

La adición de números reales es una operación que asocia a cada par de números reales a y b, llamados sumandos, un único número real c, llamado suma de a y b- la adición es una función definida así:

+:R x R à R

(a, b) à c = a + b

suma sumandos

Sustracción de números reales:

Es la operación inversa de la adición. Mientras en la adición se dan los sumandos y se trata de calcular la suma:

a + d = m

sumandos suma

en la sustracción se da la suma, llamada ahora minuendo y un sumando llamado sustraendo y se trata de calcular el otro sumando llamado diferencia:

m – a = d

minuendo diferencia

sustraendo

la diferencia d = m – a se calcula sumando al minuendo m el opuesto del sustraendo a:

d = m – a = m + (–a)

Multiplicación:

La multiplicación de números reales es una operación que asocia a cada par de números reales a y b, llamados factores; un único número real c, llamado producto de a y b. La multiplicación es una función definida así:

R x R à R

(a, b) à c = a . b

producto factores

División de números reales:

la división es la operación inversa de la multiplicación, mientras en la multiplicación se dan los factores y se trata de calcular el producto:

a . b = c

factores producto

en la división se da el producto llamado ahora dividendo y un factor llamado ahora divisor y se trata de calcular el otro factor, llamado cociente:

c/a = c + a = b, (a ≠ 0) ó c/b = c + b = a, (b ≠ 0)

en la división tenemos que:

a + b = c si y sólo si a = c * b

Potenciación de números reales:

Una adición de sumandos iguales, se conviene en escribirlo en forma de producto, así tenemos:

En forma similar, una multiplicación de factores iguales se conviene escribirlo en forma exponencial. Así tenemos:

3·3·3·3 = 3⁴ ; 7·7·7·7·7 = 7⁵

El pequeño número colocado en la parte superior derecha del factor que se repite es denominado exponente. El exponente indica el numero de veces que el factor se repite. El factor que se repite recibe el nombre de base.

El símbolo completo de base y exponente: base ^exponente, recibe el nombre de potencia. Así, 3⁴ es la cuarta potencia de tres y 7⁵ es la quinta potencia de siete.

En general, si b es un número real y n un número entero positivo, entonces bⁿ se le llama una potencia de base b y significa el producto de b por sí mismo n veces, es decir:

Por ejemplo:

5² = 5 · 5 = 25 la base 5 se multiplica por si misma 2 veces

La potencia de exponente 2 recibe el nombre de cuadrado. Así: 3² se lee "tres al cuadrado" o "el cuadrado de tres".

La potencia de exponente 3 recibe el nombre de cubo. Así p ³ se lee "pi al cubo" ó "el cubo de pi".

La potencias de exponentes 4, 5, 6 . . . reciben el nombre de cuarta, quinta, sexta, . . . potencia. Así: (2 - √5)⁴ : "cuarta potencia de2 - √5" ó "2 - √5 a la cuarta".

Se conviene en lo siguiente:

1. La potencia de base un número real no nulo y de exponente cero es uno : a⁰ = 1, a ¹ 0.

2. La potencia de base un número real y exponente uno es el mismo numero real: b¹ = b

Así : 10¹ = 10; (√2 – 3)¹ = √2 – 3; p ¹ = p .

Radicación de Números Reales:

La radicación es uno de las operaciones inversas de la potenciación. Mientras en la potenciación se dan la base y el exponente y se trata de calcular la potencia :

exponente

bⁿ = ?

base potencia

• Valor absoluto en R

La funcion valor absoluto esta definida de la siguiente manera:

Graficamente la función IxI es

Si x es positivo no afecta la función en el número

Si x es negativo la función "lleva al numero" a su inverso aditivo

El valor absoluto de un número real nunca es negativo

Al valor absoluto de un número también se le denomina Módulo

Antes de resolver algunos ejercicios veamos algunas propiedades básicas del valor absoluto. Es claro que la definición de valor absoluto que

• Propiedades
• Intervalos en R

Intervalos son conjuntos de números reales que coinciden con tramos de la recta real. Para ello hay una notación específica. Hay distintos tipos de intervalos:

Intervalos abiertos:

{ x / 3 < style="FONT-FAMILY: Georgia">

{ x / x < style="FONT-FAMILY: Georgia">

{ x / x > 3 } = ( 3, * )

Intervalos cerrados:

{ x / 3 * x * 7 } = [ 3, 7 ]

Intervalos semiabiertos por la derecha o semicerrados por la izquierda:

{ x / 3 * x < style="FONT-FAMILY: Georgia">

{ x / x * 3 } = [ 3, * )

Intervalos semiabiertos por la izquierda o semicerrados por la derecha:

{ x / 3 < style="FONT-FAMILY: Georgia">

{ x / x * 7 } = ( - *, 7 ]

-

*Wanadoo, El rincón del vago, Números reales

http://html.rincondelvago.com/numeros-reales.html

.

*Números irracionales, Jorge L. Castillo T.

http://www.monografias.com/trabajos15/numeros-irracionales/numeros-irracionales.shtml

.

*Wanadoo, El rincón del vago, Aplicaciones matemáticas

http://html.rincondelvago.com/aplicaciones-matematicas.html

.

3. ¿Cómo calculo el perímetro y área de las distintas figuras geométricas?

• Cuadrado

Perímetro

.

El perímetro del cuadrado es equivalente a la suma de todos los lados del cuadrado.

.

P = l + l + l + l = 4 l

.

Área

.

El área del cuadrado es igual a:

.

l²

.

• Rectángulo

Perímetro

.

El perímetro del rectángulo es equivalente a la suma de todos los lados del rectángulo.

.

P = 2a + 2b = 2 (a + b)

.

Área

.

El área del rectágulo es igula a:

.

a.b

.

• Triángulo

Perímetro

.

El perímetro del Triángulo es equivalente a:

.

P = a + b +c

.

.

Área

.

El área del triángulo es igual a:

.

• Paralelogramo

Perímetro

.

El perímetro del paralelogramo es equivalente a:

.

P = 2 (b + a)

.

Área

.

El área del paralelogramo es igual a:

.

b.h

.

• Trapecio

Perímetro

.

El perímetro del trapecio es equivalente a la suma de todos los lados del trapecio.

.

P = a + b + c + d

.

Área

.

El área del trapecio es igual a:

.

.

• Rombo

Perímetro

.

El perímetro del rombo es equivalente a:

.

P = 4l

.

Área

.

El área del rombo es igual a:

.

.

• Pentágono

Perímetro

.

El perímetro del pentágono es equivalente a:

.

P = 5l

.

Área

.

El área del pentágono es igual a:

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Área del pentágono = (perímetro.apotema) / 2

.

• Hexágono

Perímetro

.

El perímetro del hexágono es equivalente a:

.

P = 6l

.

Área

El área del hexágono es igual a:

.

Área del hexágono = (perímetro.apotema) / 2

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

• Círculo

Longitud

.

La longitud del círculo es igual a:

.

L = 2*PI*Radio

.

Área

.

El área del círculo es igual a:

,

un círculo = pi r²

• ……

*Tablas Matemáticas de David: Áreas, Volúmenes, Áreas de Superficie

http://www.math2.org/math/geometry/es-areasvols.htm

.

*Agustín Muñoz Núñez, Descartes 2D, Ministerio de Educación y Ciencia, Figuras Geométricas en el Plano

http://descartes.cnice.mecd.es/3_eso/Figuras_geometricas_del_plano/Indice%20de%20figugeo.htm

.

*Arakis.es, Pentágono

http://www.arrakis.es/~bbo/geom/pent1.htm

.

*Arakis.es, Hexágono

http://www.arrakis.es/~bbo/geom/hexa1.htm

.

*Educared.cl, Perímetros y áreas de figuras semejantes

http://www.educared.cl/e5_area_semejantes.htm

.

4. ¿Cómo calculo el volumen, área lateral y total de los diferentes sólidos?

.

• Cubo

Volumen de un cubo

.

un cubo = a³

.

Área total de un cubo

.

un cubo = 6 a²

.

• Paralelepípedo
• Prismas

Volumen de un prisma

un prisma rectangular = a b c

.

un prisma irregular = b h

Área total de un prisma

un prisma:
(área lateral) = perímetro (b) L
(área total) = perímetro(b) L + 2b

• Pirámides

Volumen de una pirámide

una pirámide = (1/3) b h

• Cilindro

un cilindro = b h = pi r² h

• Cono

un cono = (1/3) b h = (1/3) pi r² h

• Esfera

Volumen de una esfera

una esfera = (4/3) pi r³

Área total de una esfera

una esfera = 4 pi r²

• ….

*Tablas Matemáticas de David: Áreas, Volúmenes, Áreas de Superficie
http://www.math2.org/math/geometry/es-areasvols.htm